sábado, 4 de julio de 2009

Trinomio de la forma ax2 + bx + c


En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, osea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, osea sin una parte literal, asi´:

4x^2+15x+9 \,

Para factorizar una expresion de esta forma; primero se extraen los factores de los dos términos de los extremos, despues de extraidos se multiplican cruzandolos entre si, osea el primer factor del término de la derecha y el segundo factor del término de la izquierda y lo mismo con los otros dos, así:

Los factores de 4x² son:4x y x, y los de 9 son:3 y 3. Por lo tanto se multiplica 4x por 3 y x por 3, luego se suman los productos y el total debe ser el término de en medio, en este caso 15x, veamos:

4x(3)+x(3)=12x+3x=15x \,

Luego encerramos en dos paréntesis los dos primeros factores y los dos últimos (en línea recta), y ese será el resultado de la descomposicion factorial, así:

4x^2+15x+9=(4x+3)(x+3) \,

Trinomio de la forma x2 + bx + c


Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:

a^2+2a-15=(a-3)(a+5) \,

Ejemplo 2: x2+5x+6=0
la factorización queda como:
(x+3)(x+2)=0
ya que 3x2=6 y 3+2=5

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción



Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

x^2+xy+y^2=x^2+xy+y^2+xy-xy=(x+y)^2-xy\,

Suma o diferencia de potencias a la n


La suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera: xn + yn =(x+y)(xn-1-xn-2y+xn-3y2-...+xyn-2+yn-1)

Ejemplo: x3 + 1=(x+1)(x2-x+1)

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:

xn - yn =(x-y)(xn-1+xn-2y+xn-3y2+...+xyn-2+yn-1)

Ejemplo:

x3 - 1=(x-1)(x2+x+1)


a2 - b2 = (a-b)(a+b)

como podrán notar las famosas diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

viernes, 3 de julio de 2009

Trinomio cuadrado perfecto


Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,


Ejemplo 2:

(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,

Ejemplo 3:

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,

Ejemplo 4:

4x^2+25y^2-20xy\,

Organizando los términos tenemos

4x^2 - 20xy + 25y^2\,

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

( 2x - 5y )^2\,

Factor común por agrupación de términos


Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc)\,
= a(b+c)+d(b+c)\,
= (a+d) (b+c)\,

Un ejemplo numerico puede ser:

2y + 2j +3xy + 3xj =

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

(2y+2j)+(3xy+3xj)

Aplicamos el primer caso (Factor común)

2(y+j)+3x(y+j)

=(2+3x)(y+j)

Caso 1


(Cuando todos los terminos de un Polinomio tienen un Factor comun)

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupacion de términos

ab + ac + ad  =  a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by  = a (x+y) + b (x+y) = (a + b )(x+y) \,

la factorizacion es lo mas basico que los filososfos griegos han inventado en la humanidad para resolver con facilidad las factorizaciones de los diferentes rangos del mismo saber muy bien las tablas de multiplicar y saber sumar , multiplicar, dividir y restar es lo basico que un alumno de secundaria y de preparatoria lo debe tener en practica diaria ya que es muy indispensable para cual quier solucion algebraica o de cualquier materia de universidad

Factor común polinomio [editar]

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aqui que el factor comun no solo cuenta con un término, sino con dos.

veamos un ejemplo: 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)

Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)

En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que se puede utilizar como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)

Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)

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